微分積分例

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

ステップ 1

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

ステップ 2

$u_{1} = 4 u + 1$ とします。次に $d u_{1} = 4 d u$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 4 u + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d u}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$4 u + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $4 u + 1$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ です。

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d u} [4 u]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $4 u$ の微分係数は $4 \frac{d}{d u} [u]$ です。

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

ステップ 2.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$1$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 2.2

$u_{1} = 4 u + 1$ の $u$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 2.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u_{1} = 4 u + 1$ の $u$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$4$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 8 + 1$

ステップ 2.5.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 9$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

ステップ 2.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 3

$\sqrt{u_{1}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 5

分数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{4}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 6

べき乗則では、 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$9$ および $1$ で $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.5

$\frac{2}{3}$ と $27$ をまとめます。

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.6

$2$ に $27$ をかけます。

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.7

$54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.7.1

$3$ を $54$ で因数分解します。

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.7.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 7.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

ステップ 7.2.10

$18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 7.2.11

$18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 7.2.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

ステップ 7.2.13

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.13.1

$18$ に $3$ をかけます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

ステップ 7.2.13.2

$54$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

ステップ 7.2.14

$\frac{3}{4}$ に $\frac{52}{3}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

ステップ 7.2.15

$3$ に $52$ をかけます。

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

ステップ 7.2.16

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{156}{12}$

ステップ 7.2.17

$156$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.17.1

$12$ を $156$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

ステップ 7.2.17.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.17.2.1

$12$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

ステップ 7.2.17.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

ステップ 7.2.17.2.3

式を書き換えます。

$\frac{13}{1}$

ステップ 7.2.17.2.4

$13$ を $1$ で割ります。

$13$

ステップ 8

微分積分 例

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