微分積分例

$\int_{0}^{4.192} 120 \sin (2 t) d t$

ステップ 1

$120$ は $t$ に対して定数なので、 $120$ を積分の外に移動させます。

$120 \int_{0}^{4.192} \sin (2 t) d t$

ステップ 2

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 2.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2

$u = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 4.192$

ステップ 2.5

$2$ に $4.192$ をかけます。

$u_{upper} = 8.384$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8.384$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$120 \int_{0}^{8.384} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$120 \int_{0}^{8.384} \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$120 (\frac{1}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $120$ をまとめます。

$\frac{120}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

ステップ 5.2

$120$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $120$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 60}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 60}{2 (1)} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{60}{1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

ステップ 5.2.2.4

$60$ を $1$ で割ります。

$60 \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

ステップ 6

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$60 (- \cos (u)]_{0}^{8.384})$

ステップ 7

$8.384$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$60 (- \cos (8.384) + \cos (0))$

ステップ 8

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$60 (- \cos (8.384) + 1)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$60 (- \cos (8.384)) + 60 \cdot 1$

ステップ 9.2

$- 1$ に $60$ をかけます。

$- 60 \cos (8.384) + 60 \cdot 1$

ステップ 9.3

$60$ に $1$ をかけます。

$- 60 \cos (8.384) + 60$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 60 \cos (8.384) + 60$

10進法形式：

$90.33295124 \dots$

微分積分 例

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