微分積分例

$\int_{0}^{\ln (2)} 2 e^{3 x} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

ステップ 2

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 2.2

$u = 3 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 2.3

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = 3 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (2)$ を簡約します。

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

ステップ 2.5.2

$2$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = \ln (8)$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 3

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$2 \int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{2}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$\ln (8)$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$\frac{2}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{2}{3} (8 - e^{0})$

ステップ 7.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{2}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

ステップ 7.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} (8 - 1)$

ステップ 7.2.4

$8$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{3} \cdot 7$

ステップ 7.2.5

$\frac{2}{3}$ と $7$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 7}{3}$

ステップ 7.2.6

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{14}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{14}{3}$

10進法形式：

$4.\overline{6}$

帯分数形：

$4 \frac{2}{3}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例