微分積分例

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + x}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = 1 + x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 8$

ステップ 1.5

$1$ と $8$ をたし算します。

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{u}$ を $u^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{4}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3

${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{4}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{4}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ です。

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{9}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$9$ および $1$ で $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ の値を求めます。

$(\frac{4}{3} \cdot 9^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{4}{3}$ と $9^{\frac{3}{4}}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

ステップ 4.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

ステップ 4.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

10進法形式：

$5.59486989 \dots$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例