微分積分例

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sqrt{1 - x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.3

$2$ を ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 3

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - (- \frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + 1 (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$1 - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 5.1.2

微分します。

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ステップ 5.1.2.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 5.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 5.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 5.2

$u = 1 - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 0$

ステップ 5.3

$1$ から $0$ を引きます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = 1 - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 1$

ステップ 5.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} \int_{1}^{0} - u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- \int_{1}^{0} u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{0}))$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{2}{5}$ と $u^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0}))$

ステップ 8.2

$\frac{2}{3}$ と $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0}$ をまとめます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

ステップ 8.3

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

ステップ 8.4

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot 3}{3} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

ステップ 8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot 3 - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

ステップ 8.6

$3$ を $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ の左に移動させます。

$\frac{3 (- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ および $0$ で $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ の値を求めます。

$\frac{3 ((- \frac{1 (2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

ステップ 9.2

$0$ および $1$ で $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ の値を求めます。

$\frac{3 ((- \frac{1 (2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (- \frac{1 (2 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{3})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0)}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.7

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 (- \frac{1 \cdot 0}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.8

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (- \frac{0}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.9

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.9.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{3 (- \frac{3 (0)}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.9.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (- \frac{0}{1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.9.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{3 (- 0 + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.10

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.11

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 {(1 + 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.13

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 \cdot 1)}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.14

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (0 + \frac{0 \cdot 2}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.15

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.16

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.16.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{3 (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.16.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.16.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.16.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.16.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{3 (0 + 0) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.17

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 0 - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.18

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.19

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.20

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.21

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.21.1

共通因数を約分します。

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.21.2

式を書き換えます。

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.22

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.23

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - 2 (\frac{0}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.24

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.24.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{0 - 2 (\frac{5 (0)}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.24.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.24.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{0 - 2 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.24.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{0 - 2 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.24.2.3

式を書き換えます。

$\frac{0 - 2 (\frac{0}{1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.24.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

ステップ 9.3.25

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2 \cdot 1}{5})}{3}$

ステップ 9.3.26

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2}{5})}{3}$

ステップ 9.3.27

$0$ から $\frac{2}{5}$ を引きます。

$\frac{0 - 2 (- \frac{2}{5})}{3}$

ステップ 9.3.28

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{0 + 2 (\frac{2}{5})}{3}$

ステップ 9.3.29

$2$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{0 + \frac{2 \cdot 2}{5}}{3}$

ステップ 9.3.30

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{0 + \frac{4}{5}}{3}$

ステップ 9.3.31

$0$ と $\frac{4}{5}$ をたし算します。

$\frac{\frac{4}{5}}{3}$

ステップ 9.3.32

$\frac{\frac{4}{5}}{3}$ を積として書き換えます。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 9.3.33

$\frac{4}{5}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{5 \cdot 3}$

ステップ 9.3.34

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{4}{15}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4}{15}$

10進法形式：

$0.2\overline{6}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例