微分積分例

$\int_{0}^{1} 5 x e^{2 x} d x$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$5 (x (\frac{1}{2} e^{2 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$5 (x \frac{e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2 x} d x))$

ステップ 5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 5.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

ステップ 5.5

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u)$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

ステップ 8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{2})$

ステップ 10

$e^{u}]_{0}^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ および $0$ で $\frac{x e^{2 x}}{2}$ の値を求めます。

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

ステップ 11.2

$2$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{1 e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.2

$e^{2}$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.3

$2$ に $0$ をかけます。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.5

$0$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.6

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.6.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.6.2.3

式を書き換えます。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$5 (\frac{e^{2}}{2} + 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.8

$\frac{e^{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

ステップ 11.3.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1 \cdot 1}{4})$

ステップ 11.3.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

ステップ 11.3.11

$\frac{e^{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$5 (\frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

ステップ 11.3.12

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.3.12.1

$\frac{e^{2}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

ステップ 11.3.12.2

$2$ に $2$ をかけます。

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{4} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

ステップ 11.3.13

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{e^{2} \cdot 2 - (e^{2} - 1)}{4}$

ステップ 11.3.14

$2$ を $e^{2}$ の左に移動させます。

$5 \frac{2 \cdot e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$

ステップ 11.3.15

$5$ と $\frac{2 e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$ をまとめます。

$\frac{5 (2 e^{2} - (e^{2} - 1))}{4}$

ステップ 12

分子を簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} - - 1)}{4}$

ステップ 12.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} + 1)}{4}$

ステップ 12.3

$2 e^{2}$ から $e^{2}$ を引きます。

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

10進法形式：

$10.48632012 \dots$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例