微分積分例

$\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$

ステップ 2

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$e^{x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x)$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} x$

ステップ 2.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2}}$

ステップ 2.2

$u_{2} = e^{x^{2}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = e^{0}$

ステップ 2.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u_{2} = e^{x^{2}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = e^{1^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = e^{1}$

ステップ 2.5.2

簡約します。

$u_{upper} = e$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

ステップ 2.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{1}^{e} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e})$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $u_{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e})$

ステップ 4.2

$e$ および $1$ で $\frac{u_{2}}{2}$ の値を求めます。

$2 (\frac{e}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$2 \frac{e}{2} + 2 (- \frac{1}{2})$

ステップ 5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{e}{2} + 2 (- \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$e + 2 (- \frac{1}{2})$

ステップ 5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e + 2 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$e + 2 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$e - 1$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e - 1$

10進法形式：

$1.71828182 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例