微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

ステップ 2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

ステップ 2.1.1.1.2

$3$ を $1$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

ステップ 2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

ステップ 2.1.1.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

ステップ 2.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

ステップ 2.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

ステップ 2.1.1.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 1)}$

ステップ 2.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 x + 1}$

ステップ 2.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

ステップ 2.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(2 x + 1) (x + 1)$ です。

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.5

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.6

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.7.1.2

$(A) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.7.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.7.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.7.4.2

$(B) (2 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

ステップ 2.1.7.5

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

ステップ 2.1.7.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

ステップ 2.1.7.7

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A x + A + 2 B x + B$

ステップ 2.1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1

$B$ を移動させます。

$1 = A x + A + 2 x B + B$

ステップ 2.1.8.2

$A$ を移動させます。

$1 = A x + 2 x B + A + B$

ステップ 2.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + 2 B$

ステップ 2.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

ステップ 2.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$0 = A + 2 B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

方程式を $A + 2 B = 0$ として書き換えます。

$A + 2 B = 0$

$1 = A + B$

ステップ 2.3.1.2

方程式の両辺から $2 B$ を引きます。

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

ステップ 2.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 2 B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$1 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- 2 B$ で置き換えます。

$1 = (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

ステップ 2.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$- 2 B$ と $B$ をたし算します。

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

ステップ 2.3.3

$1 = - B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

方程式を $- B = 1$ として書き換えます。

$- B = 1$

$A = - 2 B$

ステップ 2.3.3.2

$- B = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$- B = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

ステップ 2.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

ステップ 2.3.3.2.2.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

ステップ 2.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

ステップ 2.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$A = - 2 B$ の $B$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$A = - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

ステップ 2.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

ステップ 2.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 2, B = - 1$

ステップ 2.4

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

ステップ 2.5

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 5

$u_{1} = 2 x + 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u_{1} = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 5.2

$u_{1} = 2 x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 5.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u_{1} = 2 x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

ステップ 5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2 + 1$

ステップ 5.5.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 3$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

ステップ 5.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 6.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 8.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$2 (1 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 8.3

$\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$2 (\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 11

$u_{2} = x + 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u_{2} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 11.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 11.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 11.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 11.2

$u_{2} = x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 11.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 11.4

$u_{2} = x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 11.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 11.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 11.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 12

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

ステップ 13

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$3$ および $1$ で $\ln (| u_{1} |)$ の値を求めます。

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

ステップ 13.2

$2$ および $1$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

ステップ 13.3

括弧を削除します。

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

ステップ 14.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

ステップ 14.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \ln (\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

ステップ 14.4

$\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ を積として書き換えます。

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

ステップ 14.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ で割ります。

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

ステップ 14.6

$\frac{| 1 |}{| 2 |}$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

ステップ 14.7

$\frac{| 3 |}{| 1 |}$ に $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ をかけます。

$2 \ln (\frac{| 3 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

ステップ 14.8

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$2 \ln (\frac{| 3 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

ステップ 14.9

$3$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 | | 2 |})$

ステップ 14.10

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 \cdot 2 |})$

ステップ 14.11

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

ステップ 15.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$2 \ln (\frac{3}{2})$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \ln (\frac{3}{2})$

10進法形式：

$0.81093021 \dots$

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例