微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

ステップ 1

$u = x^{4} - 1$ とします。次に $d u = 4 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{4} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{4} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{4} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 0$

ステップ 1.1.5

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3}$

ステップ 1.2

$u = x^{4} - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

ステップ 1.3

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 - 1$

ステップ 1.3.2

$0$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 1.4

$u = x^{4} - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 - 1$

ステップ 1.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 2

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

ステップ 2.2

$4$ を $u$ の左に移動させます。

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

ステップ 5

$0$ および $- 1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

ステップ 6

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ステップ 6.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{4}$ と $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

ステップ 7

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ステップ 7.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

ステップ 7.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 1$ と $0$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

ステップ 7.3

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (0)}{4}$

ステップ 7.4

0の自然対数は未定義です。

未定義

$\frac{\ln (0)}{4}$

ステップ 8

0の自然対数は未定義です。

未定義

微分積分 例

微分積分例