微分積分例

$\int_{0}^{1} v^{2} \cos (v^{3}) d v$

ステップ 1

$u = v^{3}$ とします。次に $d u = 3 v^{2} d v$ すると、 $\frac{1}{3} d u = v^{2} d v$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = v^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d v}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$v^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [v^{3}]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 v^{2}$

ステップ 1.2

$u = v^{3}$ の $v$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{3}$

ステップ 1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = v^{3}$ の $v$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{3}$

ステップ 1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\cos (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{0}^{1} \frac{\cos (u)}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \cos (u) d u$

ステップ 4

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{1}$

ステップ 5

$1$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} (\sin (1) - \sin (0))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} (\sin (1) - 0)$

ステップ 6.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\sin (1) + 0)$

ステップ 6.3

$\sin (1)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \sin (1)$

ステップ 6.4

$\frac{1}{3}$ と $\sin (1)$ をまとめます。

$\frac{\sin (1)}{3}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\sin (1)$ の値を求めます。

$\frac{0.84147098}{3}$

ステップ 7.2

$0.84147098$ を $3$ で割ります。

$0.28049032$

微分積分 例

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