微分積分例

$\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 4$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2} + 4$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 4$

ステップ 1.3.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 1.4

$u = x^{2} + 4$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {\sqrt{5}}^{2} + 4$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4$

ステップ 1.5.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4$

ステップ 1.5.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

ステップ 1.5.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

ステップ 1.5.1.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = 5^{1} + 4$

ステップ 1.5.1.5

指数を求めます。

$u_{upper} = 5 + 4$

ステップ 1.5.2

$5$ と $4$ をたし算します。

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int_{4}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$9$ および $4$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.4

指数を求めます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.5

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 6.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 6.2.8.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{1})$

ステップ 6.2.9

指数を求めます。

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2)$

ステップ 6.2.10

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (6 - 4)$

ステップ 6.2.11

$6$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot 2$

ステップ 6.2.12

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2}$

ステップ 6.2.13

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.13.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2}$

ステップ 6.2.13.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例