微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (y) d y$

ステップ 1

$\sec (y)$ の $y$ に関する積分は $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ です。

$\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

ステップ 2

答えを簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{π}{6}$ および $0$ で $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ の値を求めます。

$\ln (| \sec (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sec (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 2.2.2

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 2.2.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

ステップ 2.2.4

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

ステップ 2.2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 2.2.6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.3.1.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.5

指数を求めます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.3

$2 \sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\ln (\frac{| \sqrt{3} |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.5

$\sqrt{3}$ は約 $1.7320508$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{| 1 |})$

ステップ 2.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{1})$

ステップ 2.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\ln (\sqrt{3})$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (\sqrt{3})$

10進法形式：

$0.54930614 \dots$

微分積分 例

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