微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (2 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

$\sin^{5} (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$\sin^{4} (u_{1})$ を因数分解します。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2

${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (u_{1})$ を $1 - \cos^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7

$u_{2} = \cos (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = \cos (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$\cos (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

ステップ 7.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1})$

ステップ 7.2

$u_{2} = \cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 7.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 7.4

$u_{2} = \cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 7.5

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 7.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

ステップ 8

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

ステップ 9

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 9.1

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ を $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.5

${u_{2}}^{2}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.6

${u_{2}}^{2}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.7

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.11

${u_{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

ステップ 9.13

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

ステップ 9.14

$- {u_{2}}^{2}$ から ${u_{2}}^{2}$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

ステップ 9.15

$- 2 {u_{2}}^{2}$ と ${u_{2}}^{4}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.16

$1$ を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

ステップ 11

べき乗則では、 ${u_{2}}^{4}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ です。

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

ステップ 12

$\frac{1}{5}$ と ${u_{2}}^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

ステップ 13

$- 2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

ステップ 14

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

ステップ 15

$\frac{1}{3}$ と ${u_{2}}^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

ステップ 16

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

ステップ 17

$\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ と $u_{2}]_{1}^{0}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

ステップ 18

代入し簡約します。

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ステップ 18.1

$0$ および $1$ で $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

ステップ 18.2

$0$ および $1$ で $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.2

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.2.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.2.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.7

$1$ と $5$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.8

$0$ から $\frac{6}{5}$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.10

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.3.10.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.10.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

ステップ 18.3.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

ステップ 18.3.12

$0$ から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

ステップ 18.3.13

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

ステップ 18.3.14

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

ステップ 18.3.15

$- \frac{6}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

ステップ 18.3.16

$\frac{2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

ステップ 18.3.17

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 18.3.17.1

$\frac{6}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

ステップ 18.3.17.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

ステップ 18.3.17.3

$\frac{2}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

ステップ 18.3.17.4

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

ステップ 18.3.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

ステップ 18.3.19

分子を簡約します。

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ステップ 18.3.19.1

$- 6$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

ステップ 18.3.19.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

ステップ 18.3.19.3

$- 18$ と $10$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (- \frac{- 8}{15})$

ステップ 18.3.20

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (- - \frac{8}{15})$

ステップ 18.3.21

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (1 (\frac{8}{15}))$

ステップ 18.3.22

$\frac{8}{15}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{15}$

ステップ 18.3.23

$\frac{1}{2}$ に $\frac{8}{15}$ をかけます。

$\frac{8}{2 \cdot 15}$

ステップ 18.3.24

$2$ に $15$ をかけます。

$\frac{8}{30}$

ステップ 18.3.25

$8$ と $30$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.25.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 (4)}{30}$

ステップ 18.3.25.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.25.2.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

ステップ 18.3.25.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

ステップ 18.3.25.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{15}$

ステップ 19

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4}{15}$

10進法形式：

$0.2\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例