微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

ステップ 1

$u = 3 t$ とします。次に $d u = 3 d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 1.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 1.2

$u = 3 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 1.3

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = 3 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

ステップ 1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

ステップ 5

$π$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

ステップ 6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

ステップ 7.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

ステップ 7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

ステップ 7.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot 2$

ステップ 7.6

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{6}$

微分積分 例

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