微分積分例

\int_{0}^{\frac{π}{3}} sin (3 t) d t

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

ステップ 1

u = 3 t

$u = 3 t$ とします。次に

d u = 3 d t

$d u = 3 d t$ すると、

\frac{1}{3} d u = d t

$\frac{1}{3} d u = d t$ です。

u

$u$ と

d

$d$

u

$u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

u = 3 t

$u = 3 t$ とします。

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

3 t

$3 t$ を微分します。

\frac{d}{d t} [3 t]

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 1.1.2

3

$3$ は

t

$t$ に対して定数なので、

t

$t$ に対する

3 t

$3 t$ の微分係数は

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

3

$3$ に

1

$1$ をかけます。

3

$3$

3

$3$

ステップ 1.2

u = 3 t

$u = 3 t$ の

t

$t$ に下限値を代入します。

u_{lower} = 3 \cdot 0

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 1.3

3

$3$ に

0

$0$ をかけます。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

u = 3 t

$u = 3 t$ の

t

$t$ に上限値を代入します。

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

ステップ 1.5

3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

$u_{upper} = π$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と

$u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

ステップ 1.7

$u$ 、

$d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\sin (u)$ と

$\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は

$u$ に対して定数なので、

$\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ の

$u$ に関する積分は

$- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

ステップ 5

$π$ および

$0$ で

$- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

ステップ 6

$\cos (0)$ の厳密値は

$1$ です。

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

ステップ 7.2

$\cos (0)$ の厳密値は

$1$ です。

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

ステップ 7.3

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

ステップ 7.4

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

ステップ 7.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot 2$

ステップ 7.6

$\frac{1}{3}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{6}$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$