微分積分例

\int x arccot (x) d x

$\int x arccot (x) d x$

ステップ 1

u = arccot (x)

$u = arccot (x)$ と

d v = x

$d v = x$ ならば、公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

arccot (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

x^{2}

$x^{2}$ をまとめます。

arccot (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

ステップ 2.2

arccot (x)

$arccot (x)$ と

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

ステップ 3

\frac{1}{2} \cdot - 1

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ は

x

$x$ に対して定数なので、

\frac{1}{2} \cdot - 1

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ を積分の外に移動させます。

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

- 1

$- 1$ をまとめます。

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

ステップ 4.1.2

分数の前に負数を移動させます。

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

ステップ 4.1.3

x^{2}

$x^{2}$ と

\frac{1}{1 + x^{2}}

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

ステップ 4.1.4

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

ステップ 4.1.5

$\frac{1}{2}$ に

$1$ をかけます。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

$1$ と

$x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

$x^{2}$ を

$x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、

$0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 5.2

被除数

$x^{2}$ の最高次項を除数

$x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、

$x^{2} + 0 + 1$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

ステップ 5.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 8

$- 1$ は

$x$ に対して定数なので、

$- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$x^{2}$ と

$1$ を並べ替えます。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

ステップ 9.2

$1$ を

$1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

ステップ 10

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の

$x$ に関する積分は

$\arctan (x) + C$ です。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\arctan (x)}{2} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} arccot (x) x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \arctan (x) + C$

微分積分 例

微分積分例