微分積分例

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

ステップ 1

$u = 3 x + 8$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 x + 8$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x + 8$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{3}$ と $u^{11}$ をまとめます。

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

ステップ 3.2

$\frac{u}{3}$ に $\frac{u^{11}}{3}$ をかけます。

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

ステップ 3.3

$u$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

ステップ 3.5

$1$ と $11$ をたし算します。

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

ステップ 3.6

$3$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

ステップ 3.7

$- \frac{8}{3}$ と $\frac{u^{11}}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

ステップ 3.8

$3$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{9}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{12}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{13} u^{13}$ です。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

ステップ 8

$\frac{8}{9}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{8}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{11}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{12} u^{12}$ です。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{9}$ に $\frac{1}{13}$ をかけます。

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

ステップ 10.2.2

$9$ に $13$ をかけます。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

ステップ 10.2.3

$\frac{1}{12}$ に $\frac{8}{9}$ をかけます。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

ステップ 10.2.4

$12$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

ステップ 10.2.5

$8$ と $108$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

ステップ 10.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.5.2.1

$4$ を $108$ で因数分解します。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

ステップ 10.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

ステップ 10.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $3 x + 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$

微分積分 例

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