微分積分例

$16 p \int_{0}^{5} {(1 - \frac{x}{5})}^{2} d x$

ステップ 1

$u = 1 - \frac{x}{5}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{5} d x$ すると、 $- 5 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - \frac{x}{5}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - \frac{x}{5}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{5}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - \frac{x}{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- \frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{5}$ の微分係数は $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - \frac{1}{5} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - \frac{1}{5}$

ステップ 1.1.4

$0$ から $\frac{1}{5}$ を引きます。

$- \frac{1}{5}$

ステップ 1.2

$u = 1 - \frac{x}{5}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - \frac{0}{5}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を $5$ で割ります。

$u_{lower} = 1 - 0$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 - \frac{x}{5}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

ステップ 1.5.1.1.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 1$

ステップ 1.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{1}{5}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

ステップ 2.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{5}$ で割ります。

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} (1 \cdot 5) d u$

ステップ 2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \cdot 5 d u$

ステップ 2.4

$5$ に $- 1$ をかけます。

$16 p \int_{1}^{0} - 5 u^{2} d u$

ステップ 3

$- 5$ は $u$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$16 p (- 5 \int_{1}^{0} u^{2} d u)$

ステップ 4

$- 5$ に $16$ をかけます。

$- 80 p \int_{1}^{0} u^{2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- 80 p \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$- 80 p \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$0$ および $1$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- 80 p ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 80 p (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 7.2.2

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$- 80 p (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 7.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 7.2.2.2.3

式を書き換えます。

$- 80 p (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 7.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- 80 p (0 - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 7.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- 80 p (0 - \frac{1}{3})$

ステップ 7.2.4

$0$ から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$- 80 p (- \frac{1}{3})$

ステップ 7.2.5

$- 1$ に $- 80$ をかけます。

$80 p \frac{1}{3}$

ステップ 7.2.6

$80$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$p \frac{80}{3}$

ステップ 7.2.7

$p$ と $\frac{80}{3}$ をまとめます。

$\frac{p \cdot 80}{3}$

ステップ 7.2.8

$80$ を $p$ の左に移動させます。

$\frac{80 p}{3}$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{80}{3} p$

ステップ 9

$\frac{80}{3}$ と $p$ をまとめます。

$\frac{80 p}{3}$

ステップ 10

微分積分 例

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