微分積分例

$\int z \sqrt{4 z^{2} - 5} d z$

ステップ 1

$u = 4 z^{2} - 5$ とします。次に $d u = 8 z d z$ すると、 $\frac{1}{8} d u = z d z$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 z^{2} - 5$ とします。 $\frac{d u}{d z}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 z^{2} - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [4 z^{2} - 5]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 z^{2} - 5$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 5]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d z} [4 z^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $4 z^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 5]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 5]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 z + \frac{d}{d z} [- 5]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 5$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$8 z + 0$

ステップ 1.1.4.2

$8 z$ と $0$ をたし算します。

$8 z$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{8 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.2

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.3

$2$ と $24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.2.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $4 z^{2} - 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{12} {(4 z^{2} - 5)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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