微分積分例

$\int x \arcsin (x^{2}) d x$

ステップ 1

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \arcsin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

$\arcsin (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\arcsin (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \arcsin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$w = \arcsin (u_{1})$ と $dv = 1$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

ステップ 5

$u_{1}$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

ステップ 6

$u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$1 - {u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

ステップ 6.1.2

微分します。

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ステップ 6.1.2.1

総和則では、 $1 - {u_{1}}^{2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

ステップ 6.1.2.2

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- {u_{1}}^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 u_{1})$

ステップ 6.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 u_{1}$

ステップ 6.1.4

$0$ から $2 u_{1}$ を引きます。

$- 2 u_{1}$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

ステップ 7.2

$\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 2} d u_{2})$

ステップ 7.3

$2$ を $\sqrt{u_{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

ステップ 8

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

ステップ 9.2

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

ステップ 11

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

ステップ 11.2

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2})$

ステップ 11.3

${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2})$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2})$

ステップ 11.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2})$

ステップ 12

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$

ステップ 13

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$ を $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - {u_{1}}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {u_{1}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 14.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {(x^{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 15.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{2 \cdot 2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 15.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 15.3

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2})$ を掛けます。

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ステップ 15.3.1

$\arcsin (x^{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x^{2})}{2} x^{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 15.3.2

$\frac{\arcsin (x^{2})}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 15.4

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{{(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

ステップ 15.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

ステップ 15.6

$\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$

微分積分 例

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