微分積分例

$\int x \arctan (7 x) d x$

ステップ 1

$u = \arctan (7 x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

$\arctan (7 x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ と $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

ステップ 4.2

$7$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

ステップ 6.2

$- 7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

ステップ 6.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

ステップ 7

$x^{2}$ を $49 x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 7.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 7.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $49 x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 7.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

ステップ 7.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$ の符号をすべて変更します。

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

ステップ 7.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

ステップ 7.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

ステップ 11

$\frac{1}{49}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{49}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

ステップ 12

$49 x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

ステップ 13

$49$ を $1 + 49 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 13.1

$49$ を $1$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

ステップ 13.2

$49$ を $49 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

ステップ 13.3

$49$ を $49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

ステップ 14

$\frac{1}{49}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{49}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{1}{49}$ に $\frac{1}{49}$ をかけます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

ステップ 15.2

$49$ に $49$ をかけます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

ステップ 16

$\frac{1}{49}$ を ${(\frac{1}{7})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

ステップ 17

$\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ です。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

簡約します。

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ステップ 18.1.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{7}$ で割ります。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

ステップ 18.1.2

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

ステップ 18.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{7}$ で割ります。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

ステップ 18.1.4

$7$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

ステップ 18.2

簡約します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

ステップ 18.3

簡約します。

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ステップ 18.3.1

$- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 18.3.2

$- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 18.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 18.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.3.5

$- 2$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.3.6

$- 2$ に $7$ をかけます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.3.7

$- 14$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.3.7.1

$2$ を $- 14$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 18.3.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.3.7.2.4

$- 7$ を $1$ で割ります。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.4

簡約します。

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ステップ 18.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.4.2

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.4.2.1

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.4.2.2

$7$ を $49$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

ステップ 18.4.3

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.4.3.1

$- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

ステップ 18.4.3.2

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

ステップ 18.4.3.3

$7$ を $343$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

ステップ 18.4.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

ステップ 18.4.3.5

式を書き換えます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

ステップ 18.4.4

各項を簡約します。

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ステップ 18.4.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

ステップ 18.4.4.2

$- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ を掛けます。

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ステップ 18.4.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

ステップ 18.4.4.2.2

$\frac{\arctan (7 x)}{49}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

ステップ 19

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$

微分積分 例

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