微分積分例

$\int t \sin^{2} (t) d t$

ステップ 1

$u = t$ と $d v = \sin^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

ステップ 4

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

ステップ 5

$- \frac{1}{4}$ は $t$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 t) d t)$

ステップ 6

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 6.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $t$ をまとめます。

$t (\frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

ステップ 8.2

$\sin (2 t)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

ステップ 9

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

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ステップ 10.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

ステップ 10.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

ステップ 10.1.3

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

ステップ 10.2

簡約します。

$\frac{t^{2}}{2} - t \frac{\sin (2 t)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$\frac{\sin (2 t)}{4}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

ステップ 10.3.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{t^{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

ステップ 10.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

ステップ 10.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

ステップ 10.3.5

$\frac{1}{8}$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

ステップ 10.3.6

$\frac{1}{8}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

ステップ 10.3.7

$- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

ステップ 10.3.8

$- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

ステップ 10.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

ステップ 10.3.10

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (2 t)}{8})}{4} + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

ステップ 12.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 (- 1) \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

ステップ 12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 \cdot - 1 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

ステップ 12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

ステップ 12.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

ステップ 12.3.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

ステップ 12.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

ステップ 12.3.4

式を書き換えます。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ を $- \sin (2 t) t$ で因数分解します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

ステップ 13.2

$- 1$ を $- t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - (t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

ステップ 13.3

$- 1$ を $- (\sin (2 t) t) - (t^{2})$ で因数分解します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

ステップ 13.4

$- 1$ を $- \frac{\cos (2 t)}{2}$ で因数分解します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

ステップ 13.5

$- 1$ を $- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})$ で因数分解します。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

ステップ 13.6

$- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ を $- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ に書き換えます。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

ステップ 13.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

ステップ 13.8

$- \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

ステップ 13.9

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{4} (t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 t)) + C$

微分積分 例

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