微分積分例

$\int \sin (x) \cdot \sqrt{1 - \cos (x)} d x$

ステップ 1

$u = 1 - \cos (x)$ とします。次に $d u = \sin (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - \cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - - \sin (x)$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 \sin (x)$

ステップ 1.1.3.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$0 + \sin (x)$

ステップ 1.1.4

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\sin (x)$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $1 - \cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(1 - \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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