微分積分例

$\int arccsc (x) d x$

ステップ 1

$u = arccsc (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ と $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ をまとめます。

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

ステップ 2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

ステップ 4.2

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ に $1$ をかけます。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

ステップ 5

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sec (t)$ とします。次に $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 6.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 6.2

$\tan (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$\tan (t)$ を $\sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

ステップ 7

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

ステップ 8

$t$ のすべての発生を $arcsec (x)$ で置き換えます。

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$

微分積分 例

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