微分積分例

\int arccot (x) d x

$\int arccot (x) d x$

ステップ 1

u = arccot (x)

$u = arccot (x)$ と

d v = 1

$d v = 1$ ならば、公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

arccot (x) x - \int x (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) x - \int x (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

ステップ 2

x

$x$ と

\frac{1}{1 + x^{2}}

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

arccot (x) x - \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x - \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3

- 1

$- 1$ は

x

$x$ に対して定数なので、

- 1

$- 1$ を積分の外に移動させます。

arccot (x) x - - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x - - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

arccot (x) x + 1 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x + 1 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$ に

1

$1$ をかけます。

arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 5

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に

$d u = 2 x d x$ すると、

$\frac{1}{2} d u = x d x$ です。

$u$ と

$d$

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 5.1.2

総和則では、

$1 + x^{2}$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.1.3

$1$ は

$x$ について定数なので、

$x$ について

$1$ の微分係数は

$0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.1.4

$n = 2$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 5.1.5

$0$ と

$2 x$ をたし算します。

$2 x$

$2 x$

ステップ 5.2

$u$ と

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{u}$ に

$\frac{1}{2}$ をかけます。

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 6.2

$2$ を

$u$ の左に移動させます。

$arccot (x) x + \int \frac{1}{2 u} d u$

$arccot (x) x + \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は

$u$ に対して定数なので、

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の

$u$ に関する積分は

$\ln (| u |)$ です。

$arccot (x) x + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 9

簡約します。

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を

$1 + x^{2}$ で置き換えます。

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

$\int_{}^{} arccot (x) d x$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$