微分積分例

$π \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

ステップ 1

半角公式を利用して $\sin^{2} (x)$ を $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$π \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$π (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x)$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{π}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{π}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

ステップ 7

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 7.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 7.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 7.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 7.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 8

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

ステップ 10

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$π$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

ステップ 11.2

$2 π$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

ステップ 11.3

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

ステップ 12.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

ステップ 12.3

$\sin (2 π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

ステップ 12.4

$\sin (2 π)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分子を簡約します。

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ステップ 13.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

ステップ 13.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π}{2} (π - \frac{0}{2})$

ステップ 13.2

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{π}{2} (π - 0)$

ステップ 13.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{2} (π + 0)$

ステップ 13.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{2} π$

ステップ 13.5

$\frac{π}{2} π$ を掛けます。

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ステップ 13.5.1

$\frac{π}{2}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{π π}{2}$

ステップ 13.5.2

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{π^{1} π}{2}$

ステップ 13.5.3

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{π^{1} π^{1}}{2}$

ステップ 13.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{π^{1 + 1}}{2}$

ステップ 13.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{π^{2}}{2}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π^{2}}{2}$

10進法形式：

$4.93480220 \dots$

微分積分 例

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