微分積分例

$\int (10 x^{4} - 4) \cos (2 x^{5} - 4 x) d x$

ステップ 1

$u = 2 x^{5} - 4 x$ とします。次に $d u = (10 x^{4} - 4) d x$ すると、 $\frac{1}{10 x^{4} - 4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x^{5} - 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x^{5} - 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 4 x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x^{5} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{5}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $2$ をかけます。

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x^{4} - 4 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$10 x^{4} - 4$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cos (u) d u$

ステップ 2

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\sin (u) + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $2 x^{5} - 4 x$ で置き換えます。

$\sin (2 x^{5} - 4 x) + C$

微分積分 例