微分積分例

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{1}{x}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ すると、 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{1}{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

ステップ 2.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{u}$ で割ります。

$\int - e^{u} u d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int e^{u} u d u$

ステップ 4

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

ステップ 5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

ステップ 6

簡約します。

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{x}$ と $e^{\frac{1}{x}}$ をまとめます。

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

ステップ 8.3

$- - e^{\frac{1}{x}}$ を掛けます。

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ステップ 8.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

ステップ 8.3.2

$e^{\frac{1}{x}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$

微分積分 例

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