微分積分例

$\frac{\sqrt[3]{t}}{t - 9}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{t}$ を $t^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{3}}}{t - 9}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ および $g (t) = t - 9$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t - 9) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{3}$ と $t^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{(t - 9) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3} - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 9

総和則では、 $t - 9$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ です。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 9])}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 11

$- 9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (1 + 0)}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 12.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$t$ と $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $t^{\frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.3

指数を足して $t$ に $t^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.1

$t$ に $t^{- \frac{2}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.3.4

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.1

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.5

$- 3$ と $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 3}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.2

$- t^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.3

$- t^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1.1

$t^{\frac{1}{3}}$ を $t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1.1.1

$t^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.5.1.1.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.5.1.1.3

$t^{\frac{1}{3}}$ を $- 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.5.1.1.4

$t^{\frac{1}{3}}$ を $t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 3)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} (1 - 1 \cdot 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.5.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} (1 - 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.5.1.3

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot - 2}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.5.2

$- 2$ を $t^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{- 2 \cdot t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$- 1$ を $- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1.1

$- 1$ を $- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ で因数分解します。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.1.2

$- 1$ を $- \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ で因数分解します。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - (\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.1.3

$- 1$ を $- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - (\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})$ で因数分解します。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.2

$\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.3

$\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3})}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 t^{\frac{2}{3}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.4.1

$\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ に $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3})}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.4.2

$\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 \cdot 3}{t^{\frac{2}{3}} \cdot 3})}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.4.3

$t^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.6.1

指数を足して $t^{\frac{1}{3}}$ に $t^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.6.1.1

$t^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{- \frac{2 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}}) + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.6.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2 + 1}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.6.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{3}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.6.1.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{- \frac{2 t^{1} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.6.2

$2 t^{1}$ を簡約します。

$\frac{- \frac{2 t + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.3.6.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(t - 9)}^{2}}$

ステップ 13.5

$\frac{1}{{(t - 9)}^{2}}$ に $\frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$- \frac{2 t + 9}{{(t - 9)}^{2} (3 t^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 13.6

$3$ を ${(t - 9)}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 t + 9}{3 \cdot {(t - 9)}^{2} t^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 13.7

$- \frac{2 t + 9}{3 {(t - 9)}^{2} t^{\frac{2}{3}}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 9)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例