微分積分例

$\int \frac{1}{y^{2} - y} d y$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

$y$ を $y^{2} - y$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y \cdot y - y}$

ステップ 1.1.1.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y \cdot y + y \cdot - 1}$

ステップ 1.1.1.3

$y$ を $y \cdot y + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{1}{y (y - 1)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $y (y - 1)$ です。

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.5

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.6.1.2

$A (y - 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (y - 1) + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.6.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.6.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$1 = A y - A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.6.5

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A y - A + \frac{B (y (y - 1))}{y - 1}$

ステップ 1.1.6.5.2

$(B) (y)$ を $1$ で割ります。

$1 = A y - A + (B) (y)$

$1 = A y - A + B y$

ステップ 1.1.7

$- A$ を移動させます。

$1 = A y + B y - A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $y$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $y$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$1 = - 1 A$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $- 1 A = 1$ として書き換えます。

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2

$- 1 A = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.1.2.1

$- 1 A = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2.2.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

ステップ 1.3.3

$0 = - 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $- 1 + B = 0$ として書き換えます。

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

ステップ 1.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

ステップ 1.3.4

連立方程式を解きます。

$B = 1 A = - 1$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = 1, A = - 1$

ステップ 1.4

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1}$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y$

ステップ 3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y$

ステップ 4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$- (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{y - 1} d y$

ステップ 5

$u = y - 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = y - 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 5.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| y |) + C) + \ln (| u |) + C$

ステップ 7

簡約します。

$- \ln (| y |) + \ln (| u |) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$- \ln (| y |) + \ln (| y - 1 |) + C$

微分積分 例

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