微分積分例

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

ステップ 1

$u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ を $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.2.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1.1

$4 t^{2}$ を ${(2 t)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

ステップ 1.1.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

ステップ 1.1.2.1.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

ステップ 1.1.2.1.4

多項式を書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

ステップ 1.1.2.1.5

$a = 2 t$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

ステップ 1.1.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

ステップ 1.1.3

総和則では、 $2 t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.4

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.6

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.7

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

指数を足して $4$ に $4^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1

$4$ に $4^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.3.1.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

ステップ 1.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

ステップ 1.3.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

ステップ 1.3.2

$4$ を $3$ 乗します。

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

ステップ 1.3.3

$4$ に $4$ をかけます。

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

ステップ 1.3.4

$64$ と $16$ をたし算します。

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

ステップ 1.3.5

$80$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = \sqrt{81}$

ステップ 1.3.6

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

ステップ 1.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{lower} = 9$

ステップ 1.4

$u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$7$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

ステップ 1.5.2

$4$ に $49$ をかけます。

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

ステップ 1.5.3

$4$ に $7$ をかけます。

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

ステップ 1.5.4

$196$ と $28$ をたし算します。

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

ステップ 1.5.5

$224$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = \sqrt{225}$

ステップ 1.5.6

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

ステップ 1.5.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{upper} = 15$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$u$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$15$ および $9$ で $\frac{1}{2} u^{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$15$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{2}$ と $225$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

ステップ 5.2.3

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

ステップ 5.2.4

$81$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

ステップ 5.2.5

$- 81$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

ステップ 5.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

ステップ 5.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

ステップ 5.2.8

$225$ から $81$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

ステップ 5.2.9

$144$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.9.1

$2$ を $144$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

ステップ 5.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

ステップ 5.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

ステップ 5.2.9.2.4

$72$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \cdot 72$

ステップ 5.2.10

$\frac{1}{2}$ と $72$ をまとめます。

$\frac{72}{2}$

ステップ 5.2.11

$72$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.11.1

$2$ を $72$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

ステップ 5.2.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

ステップ 5.2.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{36}{1}$

ステップ 5.2.11.2.4

$36$ を $1$ で割ります。

$36$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例