微分積分例

$\int 4 \cos^{3} (x) d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \cos^{3} (x) d x$

ステップ 2

$\cos^{2} (x)$ を因数分解します。

$4 \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ に書き換えます。

$4 \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

ステップ 4

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int 1 - u^{2} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$4 (u + C + \int - u^{2} d u)$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (u + C - \int u^{2} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$4 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

ステップ 9

簡約します。

$4 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$4 (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x)) + C$

微分積分 例