微分積分例

$\int_{0}^{2} (2 - t) \sqrt{t} d t$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{2} (2 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

ステップ 2

$(2 - t) t^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

ステップ 2.2

負をくくり出します。

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

ステップ 2.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

ステップ 2.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

ステップ 2.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 4

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{2} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 5

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 6

$\frac{2}{3}$ と $t^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 7

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 8

べき乗則では、 $t^{\frac{3}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ です。

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{2})$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{2}{5}$ と $t^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

ステップ 9.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$2$ および $0$ で $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

ステップ 9.2.2

$2$ および $0$ で $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ の値を求めます。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

指数を足して $2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1.1

$2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.1.4

$2$ と $3$ をたし算します。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.4.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.6

$2$ に $0$ をかけます。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.7

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.7.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.7.2.3

式を書き換えます。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.7.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.9

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.10

$2$ と $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.11

指数を足して $2$ に $2^{\frac{5}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.11.1

$2$ に $2^{\frac{5}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.11.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.11.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.11.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.11.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.11.4

$2$ と $5$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.12

指数を足して $2$ に $2^{\frac{5}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.12.1

$2$ に $2^{\frac{5}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.12.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.12.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.12.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.12.4

$2$ と $5$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.13

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 9.2.3.14

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

ステップ 9.2.3.15

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.15.1

共通因数を約分します。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

ステップ 9.2.3.15.2

式を書き換えます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

ステップ 9.2.3.16

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

ステップ 9.2.3.17

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

ステップ 9.2.3.18

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.18.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

ステップ 9.2.3.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.18.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

ステップ 9.2.3.18.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

ステップ 9.2.3.18.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

ステップ 9.2.3.18.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - 0)$

ステップ 9.2.3.19

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} + 0)$

ステップ 9.2.3.20

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

ステップ 9.2.3.21

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

ステップ 9.2.3.22

$- \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 9.2.3.23

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.23.1

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 9.2.3.23.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 9.2.3.23.3

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}$

ステップ 9.2.3.23.4

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

ステップ 9.2.3.24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5 - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

ステップ 9.2.3.25

$5$ を $2^{\frac{7}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

ステップ 9.2.3.26

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

ステップ 9.2.3.27

$5 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ から $3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ を引きます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

ステップ 9.2.3.28

指数を足して $2$ に $2^{\frac{7}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.28.1

$2$ に $2^{\frac{7}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.28.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

ステップ 9.2.3.28.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{1 + \frac{7}{2}}}{15}$

ステップ 9.2.3.28.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{15}$

ステップ 9.2.3.28.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2 + 7}{2}}}{15}$

ステップ 9.2.3.28.4

$2$ と $7$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

10進法形式：

$1.50849446 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例