微分積分例

$\int 5 x e^{- 4 x} d x$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int x e^{- 4 x} d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = e^{- 4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$5 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

ステップ 3

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ステップ 3.1

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$5 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ をまとめます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

ステップ 3.3

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

ステップ 5

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

ステップ 5.2

$\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ に $1$ をかけます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

ステップ 7

$u = - 4 x$ とします。次に $d u = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = - 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$- 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 7.1.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

ステップ 8

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

ステップ 8.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

ステップ 10

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

ステップ 11.2

$4$ に $4$ をかけます。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

ステップ 12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

ステップ 13

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ステップ 13.1

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ を $5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 13.2

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ステップ 13.2.1

$x$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$5 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.2

$e^{- 4 x}$ と $\frac{x}{4}$ をまとめます。

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $- 4 x$ で置き換えます。

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$5 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$

微分積分 例

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