微分積分例

$\int_{- 8}^{0} x e^{- 4 x} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = e^{- 4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ をまとめます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - (- \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + 1 (\frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x$

ステップ 5

$u = - 4 x$ とします。次に $d u = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 5.1.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 5.2

$u = - 4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 4 \cdot - 8$

ステップ 5.3

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$u_{lower} = 32$

ステップ 5.4

$u = - 4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 4 \cdot 0$

ステップ 5.5

$- 4$ に $0$ をかけます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 32$

$u_{upper} = 0$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

ステップ 6.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} - \frac{e^{u}}{4} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- \int_{32}^{0} \frac{e^{u}}{4} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} d u))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

ステップ 9.2

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

ステップ 10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$0$ および $- 8$ で $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ の値を求めます。

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

ステップ 11.2

$0$ および $32$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$- 4$ に $0$ をかけます。

$- \frac{0 e^{0}}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{0 \cdot 1}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.3

$0$ に $1$ をかけます。

$- \frac{0}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.4

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.4.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{4 (0)}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.4.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{0}{1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- 0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.6

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$0 + \frac{- 8 e^{32}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.7

$- 8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.7.1

$4$ を $- 8 e^{32}$ で因数分解します。

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.7.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 (1)} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 \cdot 1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.7.2.3

式を書き換えます。

$0 + \frac{- 2 e^{32}}{1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.7.2.4

$- 2 e^{32}$ を $1$ で割ります。

$0 - 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.8

$0$ から $2 e^{32}$ を引きます。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

ステップ 11.3.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} (1 - e^{32})$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

分配則を当てはめます。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} \cdot 1 - \frac{1}{16} (- e^{32})$

ステップ 12.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} (- e^{32})$

ステップ 12.1.3

$- \frac{1}{16} (- e^{32})$ を掛けます。

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ステップ 12.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{16}) e^{32}$

ステップ 12.1.3.2

$\frac{1}{16}$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} e^{32}$

ステップ 12.1.3.3

$\frac{1}{16}$ と $e^{32}$ をまとめます。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{e^{32}}{16}$

ステップ 12.2

$- 2 e^{32}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$- 2 e^{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

ステップ 12.3

$- 2 e^{32}$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

ステップ 12.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

ステップ 12.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32} - 1}{16}$

ステップ 12.6

$16$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 32 e^{32} + e^{32} - 1}{16}$

ステップ 12.7

$- 32 e^{32}$ と $e^{32}$ をたし算します。

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

10進法形式：

$- 152990735353944$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例