微分積分例

$\int_{- 8}^{- 1} \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x$ を $x - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 2.2.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 2.2.1.3

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 2.2.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 2.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{3}}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.2.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$x^{- \frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

ステップ 2.2.3.2

$x^{- \frac{1}{3}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

ステップ 2.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

ステップ 2.2.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

ステップ 2.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

ステップ 2.2.3.5

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

ステップ 3

$x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

ステップ 3.2

$x^{\frac{2}{3}}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

ステップ 3.3

$x^{\frac{2}{3}}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

ステップ 3.4

$x^{\frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

ステップ 3.5

負をくくり出します。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

ステップ 3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

ステップ 3.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

ステップ 3.10

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 8}^{- 1} - x^{\frac{5}{3}} d x)$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 8}^{- 1} + \int_{- 8}^{- 1} - x^{\frac{5}{3}} d x)$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 8}^{- 1} - \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{5}{3}} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{5}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 8}^{- 1} - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}]_{- 8}^{- 1}))$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\frac{3}{8}$ と $x^{\frac{8}{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 8}^{- 1} - (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}]_{- 8}^{- 1}))$

ステップ 8.1.2

$\frac{3}{5}$ と $x^{\frac{5}{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 8}^{- 1} - (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}]_{- 8}^{- 1}))$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$- 1$ および $- 8$ で $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}]_{- 8}^{- 1}))$

ステップ 8.2.2

$- 1$ および $- 8$ で $\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(- 1)}^{5}}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.4

$- 1$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot - 1}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{- 3}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.7

$- 8$ を ${(- 2)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.8

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.9

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.9.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {(- 2)}^{5}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.10

$- 2$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 32}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.11

$3$ に $- 32$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{- 96}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - - \frac{96}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} + 1 (\frac{96}{5}) - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.14

$\frac{96}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} + \frac{96}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{- 3 + 96}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.16

$- 3$ と $96$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.17

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}}}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.18

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})}}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.19

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.19.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})}}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.19.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 {(- 1)}^{8}}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.20

$- 1$ を $8$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 \cdot 1}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.21

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.22

$- 8$ を ${(- 2)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

ステップ 8.2.3.23

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {(- 2)}^{3 (\frac{8}{3})}}{8}))$

ステップ 8.2.3.24

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.24.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {(- 2)}^{3 (\frac{8}{3})}}{8}))$

ステップ 8.2.3.24.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {(- 2)}^{8}}{8}))$

ステップ 8.2.3.25

$- 2$ を $8$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 256}{8}))$

ステップ 8.2.3.26

$3$ に $256$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{768}{8}))$

ステップ 8.2.3.27

$768$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.27.1

$8$ を $768$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{8 \cdot 96}{8}))$

ステップ 8.2.3.27.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.27.2.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{8 \cdot 96}{8 (1)}))$

ステップ 8.2.3.27.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{8 \cdot 96}{8 \cdot 1}))$

ステップ 8.2.3.27.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{96}{1}))$

ステップ 8.2.3.27.2.4

$96$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - 1 \cdot 96))$

ステップ 8.2.3.28

$- 1$ に $96$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - 96))$

ステップ 8.2.3.29

$- 96$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - 96 \cdot \frac{8}{8}))$

ステップ 8.2.3.30

$- 96$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} + \frac{- 96 \cdot 8}{8}))$

ステップ 8.2.3.31

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - \frac{3 - 96 \cdot 8}{8})$

ステップ 8.2.3.32

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.32.1

$- 96$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - \frac{3 - 768}{8})$

ステップ 8.2.3.32.2

$3$ から $768$ を引きます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - \frac{- 765}{8})$

ステップ 8.2.3.33

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - - \frac{765}{8})$

ステップ 8.2.3.34

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} + 1 (\frac{765}{8}))$

ステップ 8.2.3.35

$\frac{765}{8}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} + \frac{765}{8})$

ステップ 8.2.3.36

$\frac{93}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} \cdot \frac{8}{8} + \frac{765}{8})$

ステップ 8.2.3.37

$\frac{765}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} \cdot \frac{8}{8} + \frac{765}{8} \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 8.2.3.38

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $40$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.38.1

$\frac{93}{5}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{765}{8} \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 8.2.3.38.2

$5$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93 \cdot 8}{40} + \frac{765}{8} \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 8.2.3.38.3

$\frac{765}{8}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93 \cdot 8}{40} + \frac{765 \cdot 5}{8 \cdot 5})$

ステップ 8.2.3.38.4

$8$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{93 \cdot 8}{40} + \frac{765 \cdot 5}{40})$

ステップ 8.2.3.39

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{93 \cdot 8 + 765 \cdot 5}{40}$

ステップ 8.2.3.40

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.40.1

$93$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{744 + 765 \cdot 5}{40}$

ステップ 8.2.3.40.2

$765$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{744 + 3825}{40}$

ステップ 8.2.3.40.3

$744$ と $3825$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4569}{40}$

ステップ 8.2.3.41

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4569}{40}$ をかけます。

$\frac{4569}{2 \cdot 40}$

ステップ 8.2.3.42

$2$ に $40$ をかけます。

$\frac{4569}{80}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4569}{80}$

10進法形式：

$57.1125$

帯分数形：

$57 \frac{9}{80}$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例