微分積分例

$\int 24 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

ステップ 1

$24$ は $t$ に対して定数なので、 $24$ を積分の外に移動させます。

$24 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

ステップ 2

$u_{1} = t^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 t d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u_{1} = t^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$t^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$24 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ を ${u_{1}}^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$24 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2

${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ を ${u_{1}}^{4}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{2}$ と ${u_{1}}^{3}$ をまとめます。

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 3.4

$\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ と $e^{- {u_{1}}^{4}}$ をまとめます。

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$24 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $24$ をまとめます。

$\frac{24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 5.2

$24$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{12}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.4

$12$ を $1$ で割ります。

$12 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

${u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 6.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1}$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$12 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ を ${u_{2}}^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7.1.4.2.3

式を書き換えます。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と $u_{2}$ をまとめます。

$12 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 7.3

$\frac{u_{2}}{2}$ と $e^{- {u_{2}}^{2}}$ をまとめます。

$12 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $12$ をまとめます。

$\frac{12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 9.2

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 9.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 9.2.2.4

$6$ を $1$ で割ります。

$6 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ とします。次に $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$- {u_{2}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

ステップ 10.1.2

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $u_{2}$ に対する $- {u_{2}}^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

ステップ 10.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 u_{2})$

ステップ 10.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 u_{2}$

ステップ 10.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$6 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$6 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

ステップ 11.2

$e^{u_{3}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

ステップ 12

$- 1$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$6 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

ステップ 13

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と $- 6$ をまとめます。

$\frac{- 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 15.2

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 15.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 15.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 15.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 15.2.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$- 3 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 16

$e^{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $e^{u_{3}}$ です。

$- 3 (e^{u_{3}} + C)$

ステップ 17

簡約します。

$- 3 e^{u_{3}} + C$

ステップ 18

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$u_{3}$ のすべての発生を $- {u_{2}}^{2}$ で置き換えます。

$- 3 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

ステップ 18.2

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{2}$ で置き換えます。

$- 3 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

ステップ 18.3

$u_{1}$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$- 3 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例