微分積分例

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 3

$u = - 0.1 y$ とします。次に $d u = - 0.1 d y$ すると、 $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = - 0.1 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 0.1 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

ステップ 3.1.2

$- 0.1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 0.1 y$ の微分係数は $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.1 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$- 0.1$ に $1$ をかけます。

$- 0.1$

ステップ 3.2

$u = - 0.1 y$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

ステップ 3.3

$- 0.1$ に $- 3$ をかけます。

$u_{lower} = 0.3$

ステップ 3.4

$u = - 0.1 y$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

ステップ 3.5

$- 0.1$ に $- 2$ をかけます。

$u_{upper} = 0.2$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 4.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{0.1}$ をまとめます。

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 7

$\frac{1}{0.1}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{0.1}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{0.1}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 8.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

ステップ 10

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

ステップ 11

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

ステップ 12

代入し簡約します。

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ステップ 12.1

$0.2$ および $0.3$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

ステップ 12.2

$- 2$ および $- 3$ で $\ln (| y |)$ の値を求めます。

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 12.3

括弧を削除します。

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 13

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$2$ を $0.1$ で割ります。

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

ステップ 14.2

$- 1$ に $20$ をかけます。

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

ステップ 14.3

分配則を当てはめます。

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

ステップ 14.4

$- 1$ に $- 20$ をかけます。

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

ステップ 14.5

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 2$ と $0$ の間の距離は $2$ です。

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

ステップ 14.6

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 3$ と $0$ の間の距離は $3$ です。

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

10進法形式：

$1.35272566 \dots$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例