微分積分例

$\int_{- 3}^{- 1} 2 x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{- 3}^{- 1} x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

ステップ 2

$u = 5 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 5 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$5 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $5 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 2.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 2.2

$u = 5 - x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 - {(- 3)}^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 5 - 1 \cdot 9$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$u_{lower} = 5 - 9$

ステップ 2.3.2

$5$ から $9$ を引きます。

$u_{lower} = - 4$

ステップ 2.4

$u = 5 - x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 - {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.5.1.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1 + 2}$

ステップ 2.5.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.5.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = 5 - 1$

ステップ 2.5.2

$5$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 3.2

$u^{3}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 \int_{- 4}^{4} - \frac{u^{3}}{2} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u)$

ステップ 5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

ステップ 7.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

ステップ 7.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{- 4}^{4})$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ と $u^{4}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{- 4}^{4})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$4$ および $- 4$ で $\frac{u^{4}}{4}$ の値を求めます。

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$4$ を $4$ 乗します。

$- (\frac{256}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2

$256$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1

$4$ を $256$ で因数分解します。

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2.2.3

式を書き換えます。

$- (\frac{64}{1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2.2.4

$64$ を $1$ で割ります。

$- (64 - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.3

$- 4$ を $4$ 乗します。

$- (64 - \frac{256}{4})$

ステップ 10.2.4

$256$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.1

$4$ を $256$ で因数分解します。

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4})$

ステップ 10.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.4.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)})$

ステップ 10.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1})$

ステップ 10.2.4.2.3

式を書き換えます。

$- (64 - \frac{64}{1})$

ステップ 10.2.4.2.4

$64$ を $1$ で割ります。

$- (64 - 1 \cdot 64)$

ステップ 10.2.5

$- 1$ に $64$ をかけます。

$- (64 - 64)$

ステップ 10.2.6

$64$ から $64$ を引きます。

$- 0$

ステップ 10.2.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 11

微分積分 例

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