微分積分例

$\int_{2 \sqrt{2}}^{4} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ である時に $t = 2 \sec (t_{1})$ とします。次に $d t = 2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ は正であることに注意します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

積の法則を $2 \sec (t_{1})$ に当てはめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4 \sec^{2} (t_{1})$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1})) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.1.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \tan^{2} (t_{1})}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.1.6

$4 \tan^{2} (t_{1})$ を ${(2 \tan (t_{1}))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \tan (t_{1}))}^{2}}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2 \tan (t_{1})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$2 \tan (t_{1})$ を ${(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.2.1.2

$2 \tan (t_{1})$ を $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

ステップ 2.2.1.3

共通因数を約分します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) {(2 \sec (t_{1}))}^{3}} (2 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 2.2.1.4

式を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}}$ と $\sec (t_{1})$ をまとめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$2$ を $2 \sec (t_{1})$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

ステップ 2.2.3.2

積の法則を $2 (\sec (t_{1}))$ に当てはめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{2^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

ステップ 2.2.3.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

ステップ 2.2.3.4

$\sec (t_{1})$ と $\sec^{3} (t_{1})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.4.1

$1$ を掛けます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

ステップ 2.2.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.4.2.1

$\sec (t_{1})$ を $8 \sec^{3} (t_{1})$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

ステップ 2.2.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

ステップ 2.2.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{8 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{8}$ は $t_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

ステップ 4.2

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ を ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

ステップ 4.3

正弦と余弦に関して $\sec (t_{1})$ を書き換えます。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

ステップ 4.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ で割ります。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

ステップ 4.5

$\cos (t_{1})$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 5

半角公式を利用して $\cos^{2} (t_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $t_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{16} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{16} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d t_{1} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

ステップ 10

$u = 2 t_{1}$ とします。次に $d u = 2 d t_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = 2 t_{1}$ とします。 $\frac{d u}{d t_{1}}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$2 t_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

ステップ 10.1.2

$2$ は $t_{1}$ に対して定数なので、 $t_{1}$ に対する $2 t_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ は $n {t_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 10.2

$u = 2 t_{1}$ の $t_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 10.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 10.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

ステップ 10.4

$u = 2 t_{1}$ の $t_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

ステップ 10.5

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 10.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 10.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 11

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

ステップ 13

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 14

代入し簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{π}{3}$ および $\frac{π}{4}$ で $t_{1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 14.2

$\frac{2 π}{3}$ および $\frac{π}{2}$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3

簡約します。

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ステップ 14.3.1

$\frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3.2

$- \frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 14.3.3.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3.3.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3.3.3

$\frac{π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3.3.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3.5

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{1}{16} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 14.3.7

$4 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

ステップ 15.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

各項を簡約します。

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ステップ 16.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

ステップ 16.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

ステップ 16.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

ステップ 16.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 16.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

ステップ 16.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

ステップ 16.4

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

ステップ 16.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

ステップ 16.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

ステップ 16.7

簡約します。

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ステップ 16.7.1

$\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12}$ を掛けます。

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ステップ 16.7.1.1

$\frac{1}{16}$ に $\frac{π}{12}$ をかけます。

$\frac{π}{16 \cdot 12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

ステップ 16.7.1.2

$16$ に $12$ をかけます。

$\frac{π}{192} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

ステップ 16.7.2

$\frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ を掛けます。

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ステップ 16.7.2.1

$\frac{1}{16}$ に $\frac{\sqrt{3}}{4}$ をかけます。

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

ステップ 16.7.2.2

$16$ に $4$ をかけます。

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

ステップ 16.7.3

$\frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 16.7.3.1

$\frac{1}{16}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{16 \cdot 2}$

ステップ 16.7.3.2

$16$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

10進法形式：

$0.01217575 \dots$

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例