微分積分例

$\int 3 x e^{0.5 x^{2}} d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int x e^{0.5 x^{2}} d x$

ステップ 2

$u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = x e^{0.5 x^{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{x e^{0.5 x^{2}}} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$e^{0.5 x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x^{2}}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 0.5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $0.5 x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $0.5 x^{2}$ で置き換えます。

$e^{0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.5 x^{2}$ の微分係数は $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 (2 x))$

ステップ 2.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.1.3.3.1

$2$ に $0.5$ をかけます。

$e^{0.5 x^{2}} (1 x)$

ステップ 2.1.3.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{0.5 x^{2}} x$

ステップ 2.1.3.3.3

$e^{0.5 x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$x e^{0.5 x^{2}}$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int d u_{2}$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$3 (u_{2} + C)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

$3 u_{2} + C$

ステップ 4.2

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{0.5 x^{2}}$ で置き換えます。

$3 e^{0.5 x^{2}} + C$

微分積分 例

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