微分積分例

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

ステップ 2

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

ステップ 2.2

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

ステップ 3

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 3.2

$u = 3 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 3.3

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4

$u = 3 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

ステップ 3.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$3 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (u)$ である

$3 (\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 \frac{\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}}{3}$

ステップ 6.2

$3$ と $\frac{\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 (\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})}{3}$

ステップ 6.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})}{3}$

ステップ 6.3.2

$\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ および $0$ で $\arcsin (u)$ の値を求めます。

$\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$\frac{π}{6} - \arcsin (0)$

ステップ 8.1.2

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π}{6} - 0$

ステップ 8.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{6} + 0$

ステップ 8.2

$\frac{π}{6}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{6}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{6}$

10進法形式：

$0.52359877 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例