微分積分例

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos (π x) d x$

ステップ 1

$u = π x$ とします。次に $d u = π d x$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = π x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$π x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.1.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$π \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 1.2

$u = π x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = π \cdot 0$

ステップ 1.3

$π$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = π x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

ステップ 1.5

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{π} d u$

ステップ 2

$\cos (u)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{π} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

ステップ 4

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 5

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{π} (1 - \sin (0))$

ステップ 6.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{π} (1 - 0)$

ステップ 6.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{π} (1 + 0)$

ステップ 6.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{π} \cdot 1$

ステップ 6.5

$\frac{1}{π}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{π}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{π}$

10進法形式：

$0.31830988 \dots$

微分積分 例

微分積分例