微分積分例

$\int \frac{y - 2}{y + 3} d y$

ステップ 1

$y - 2$ を $y + 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$3$

$y$

$2$

ステップ 1.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	-	$2$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			+	$y$	+	$3$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 3$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$
					-	$5$

ステップ 1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{5}{y + 3} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$y + C + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

ステップ 4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C - \int \frac{5}{y + 3} d y$

ステップ 5

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$y + C - (5 \int \frac{1}{y + 3} d y)$

ステップ 6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$y + C - 5 \int \frac{1}{y + 3} d y$

ステップ 7

$u = y + 3$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = y + 3$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$y + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $y + 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 7.1.4

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C - 5 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C - 5 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 9

簡約します。

$y - 5 \ln (| u |) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $y + 3$ で置き換えます。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C$

微分積分 例

微分積分例