微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

ステップ 2

定数の法則を当てはめます。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) d x$

ステップ 4

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 4.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{12}$

ステップ 4.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (6)}$

ステップ 4.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) d u)$

ステップ 7

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{π}{12}$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

ステップ 8.2

$\frac{π}{6}$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{6})) - \sin (0))$

ステップ 8.3

$\frac{π}{12}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

ステップ 9.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0)$

ステップ 9.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

ステップ 9.4

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 9.5

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.01179938 \dots$

微分積分 例

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