微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 1

$u = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 1.2

$u = \frac{x}{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.3

$0$ を $2$ で割ります。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \frac{x}{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{upper} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.5.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

ステップ 2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

ステップ 2.3

$2$ を $\sec^{2} (u)$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sec^{2} (u) d u$

ステップ 3

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

ステップ 4

$\tan (u)$ の微分係数が $\sec^{2} (u)$ なので、 $\sec^{2} (u)$ の積分は $\tan (u)$ です。

$2 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

ステップ 5

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $\tan (u)$ の値を求めます。

$2 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$2 (1 - \tan (0))$

ステップ 6.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 (1 - 0)$

ステップ 6.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 (1 + 0)$

ステップ 6.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

微分積分例