微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

ステップ 1

$u = 4 + r^{2}$ とします。次に $d u = 2 r d r$ すると、 $\frac{1}{2} d u = r d r$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = 4 + r^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d r}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$4 + r^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 + r^{2}$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ です。

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 1.1.3

$4$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 r$

ステップ 1.1.5

$0$ と $2 r$ をたし算します。

$2 r$

ステップ 1.2

$u = 4 + r^{2}$ の $r$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 4 + 0$

ステップ 1.3.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 1.4

$u = 4 + r^{2}$ の $r$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

ステップ 1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

積の法則を $\frac{π}{2}$ に当てはめます。

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

ステップ 1.5.2

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

ステップ 5

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ および $4$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ は約 $6.4674011$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

ステップ 7.1.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

ステップ 7.1.3

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

ステップ 7.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

ステップ 7.1.5

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

ステップ 7.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

ステップ 7.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

ステップ 7.4

$\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$\frac{16 + π^{2}}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

ステップ 7.4.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

10進法形式：

$0.24023999 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例