微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

ステップ 1

$u = \sin (t)$ とします。次に $d u = \cos (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = \sin (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\sin (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

ステップ 1.1.2

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$\cos (t)$

ステップ 1.2

$u = \sin (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \sin (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ である時に $u = \tan (t_{1})$ とします。次に $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t_{1})$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

項を並べ替えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 3.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 3.2

$\sec (t_{1})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\sec (t_{1})$ を $\sec^{2} (t_{1})$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 4

$\sec (t_{1})$ の $t_{1}$ に関する積分は $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ です。

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

ステップ 5

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ の値を求めます。

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 6.2

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 6.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

ステップ 6.4

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

ステップ 6.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 6.6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.2.6.5

指数を求めます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.1.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ は約 $2.41421356$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

ステップ 7.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

ステップ 7.3

$\sqrt{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

10進法形式：

$0.88137358 \dots$

微分積分 例

微分積分例