微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

ステップ 1

$\cos^{4} (x)$ を因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

ステップ 2.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

ステップ 4

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 4.2

$u = \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 4.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

ステップ 5

$u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 5.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ を $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.5

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.6

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.7

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.8

$u^{7}$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.9

括弧を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.10

$u^{7}$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.11

$u^{2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.12

括弧を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.13

$u^{7}$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.14

$u^{2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.15

括弧を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 5.16

括弧を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.17

$u^{7}$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.18

$1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.19

$u^{7}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.20

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.21

負をくくり出します。

$\int_{0}^{1} u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.23

$7$ と $2$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.24

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.25

負をくくり出します。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.26

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.27

$7$ と $2$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.28

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.29

$u^{7}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.30

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

ステップ 5.31

$7$ と $2$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

ステップ 5.32

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

ステップ 5.33

$9$ と $2$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

ステップ 5.34

$- u^{9}$ から $u^{9}$ を引きます。

$\int_{0}^{1} u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

ステップ 5.35

$- 2 u^{9}$ と $u^{11}$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{1} u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

ステップ 5.36

$u^{7}$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} u^{11} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{9} d u + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{11}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{12} u^{12}$ です。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{9} d u + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

ステップ 8

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{9} d u + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{9}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{10} u^{10}$ です。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{10}$ と $u^{10}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1}$

ステップ 12

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1}$ と $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} u^{12} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1})$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$1$ および $0$ で $\frac{1}{12} u^{12} + \frac{1}{8} u^{8}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{12} \cdot 1^{12} + \frac{1}{8} \cdot 1^{8}) - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1})$

ステップ 13.2

$1$ および $0$ で $\frac{u^{10}}{10}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{12} \cdot 1^{12} + \frac{1}{8} \cdot 1^{8}) - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3

簡約します。

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ステップ 13.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot 1^{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.2

$\frac{1}{12}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} \cdot 1^{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} \cdot 1 - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.4

$\frac{1}{8}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.5

$\frac{1}{12}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.6

$\frac{1}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $24$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.7.1

$\frac{1}{12}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{12 \cdot 2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.7.2

$12$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{24} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.7.3

$\frac{1}{8}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.7.4

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{24} + \frac{3}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + 3}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.9

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{5}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.10

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{5}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.11

$\frac{1}{12}$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{24} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.12

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{5}{24} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.13

$\frac{1}{8}$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{24} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.14

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{24} - 0 - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.15

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{24} + 0 - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.16

$\frac{5}{24}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{24} - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.17

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{0^{10}}{10})$

ステップ 13.3.18

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{0}{10})$

ステップ 13.3.19

$0$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.19.1

$10$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{10 (0)}{10})$

ステップ 13.3.19.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.19.2.1

$10$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1})$

ステップ 13.3.19.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1})$

ステップ 13.3.19.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{0}{1})$

ステップ 13.3.19.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - 0)$

ステップ 13.3.20

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} + 0)$

ステップ 13.3.21

$\frac{1}{10}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10})$

ステップ 13.3.22

$- 2$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$\frac{5}{24} + \frac{- 2}{10}$

ステップ 13.3.23

$- 2$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.23.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{5}{24} + \frac{2 (- 1)}{10}$

ステップ 13.3.23.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.23.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5}{24} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

ステップ 13.3.23.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5}{24} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

ステップ 13.3.23.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{24} + \frac{- 1}{5}$

ステップ 13.3.24

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{24} - \frac{1}{5}$

ステップ 13.3.25

$\frac{5}{24}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{5}{24} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

ステップ 13.3.26

$- \frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{24}{24}$ を掛けます。

$\frac{5}{24} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{24}{24}$

ステップ 13.3.27

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $120$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.27.1

$\frac{5}{24}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{5 \cdot 5}{24 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{24}{24}$

ステップ 13.3.27.2

$24$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 \cdot 5}{120} - \frac{1}{5} \cdot \frac{24}{24}$

ステップ 13.3.27.3

$\frac{1}{5}$ に $\frac{24}{24}$ をかけます。

$\frac{5 \cdot 5}{120} - \frac{24}{5 \cdot 24}$

ステップ 13.3.27.4

$5$ に $24$ をかけます。

$\frac{5 \cdot 5}{120} - \frac{24}{120}$

ステップ 13.3.28

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 \cdot 5 - 24}{120}$

ステップ 13.3.29

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.29.1

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{25 - 24}{120}$

ステップ 13.3.29.2

$25$ から $24$ を引きます。

$\frac{1}{120}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{120}$

10進法形式：

$0.008\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例