微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x$

ステップ 2

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

代入し簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $x \sin (x)$ の値を求めます。

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 3.1.2

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$\frac{π}{2}$ と $\sin (\frac{π}{2})$ をまとめます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 3.1.3.2

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 3.1.3.3

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 3.1.3.4

$- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.1.3.5

$- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

ステップ 3.1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

ステップ 3.1.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

ステップ 3.2.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{2}$

ステップ 3.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{2}$

ステップ 3.2.4

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{2}$

ステップ 3.2.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{2}$

ステップ 3.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{π - 2 \cdot 1}{2}$

ステップ 3.2.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{π - 2}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π - 2}{2}$

10進法形式：

$0.57079632 \dots$

微分積分 例

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