微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} {(\cos (x) + \sec (x))}^{2} d x$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(\cos (x) + \sec (x))}^{2}$ を $(\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x))$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} (\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) (\cos (x) + \sec (x)) + \sec (x) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.2

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$\cos (x)$ と $\sec (x)$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.2.2

正弦と余弦に関して $\cos (x) \sec (x)$ を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.3

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.1

正弦と余弦に関して $\sec (x) \cos (x)$ を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.3.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.4

$\sec (x) \sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.4.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

ステップ 1.3.1.4.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) d x$

ステップ 1.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + {\sec (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 1.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{2} (x) d x$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 2 + \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 7

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 7.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 7.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

ステップ 7.5

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 8

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 10

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 12

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

ステップ 13

$2 x]_{0}^{\frac{π}{3}}$ と $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

ステップ 14

代入し簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{π}{3}$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

ステップ 14.2

$\frac{2 π}{3}$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

ステップ 14.3

$\frac{π}{3}$ および $0$ で $2 x + \tan (x)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + (2 \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

ステップ 14.4

簡約します。

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ステップ 14.4.1

$\frac{π}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + (2 \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

ステップ 14.4.2

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

ステップ 14.4.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0))$

ステップ 14.4.4

$0$ と $\tan (0)$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0)$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0)$

ステップ 15.2

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0)$

ステップ 15.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

ステップ 15.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

ステップ 15.5

$\sin (\frac{2 π}{3})$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{3})) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

ステップ 15.6

$\frac{1}{2}$ と $\sin (\frac{2 π}{3})$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

ステップ 15.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} + 0$

ステップ 15.8

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

各項を簡約します。

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ステップ 16.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 16.1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.1.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.1.3

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 16.1.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ を掛けます。

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ステップ 16.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{3}$ をかけます。

$\frac{π}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ を掛けます。

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ステップ 16.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{4}$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.5

$\frac{2 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

ステップ 16.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 16.6.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

ステップ 16.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

ステップ 16.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

ステップ 16.8

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

ステップ 16.9

$\frac{\sqrt{3}}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $24$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 16.10.1

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.10.2

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.10.3

$\frac{\sqrt{3}}{8}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{8 \cdot 3} + \sqrt{3}$

ステップ 16.10.4

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{24} + \sqrt{3}$

ステップ 16.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4 + \sqrt{3} \cdot 3}{24} + \sqrt{3}$

ステップ 16.12

項を並べ替えます。

$\frac{4 (π + 2 π \cdot 2) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3}$

ステップ 16.13

公分母を利用して $\frac{4 (π + 2 π \cdot 2) + 3 \sqrt{3}}{24}$ と $\sqrt{3}$ を組み合わせます。

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ステップ 16.13.1

$π$ を移動させます。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3}$

ステップ 16.13.2

$\sqrt{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{24}{24}$ を掛けます。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3} \cdot \frac{24}{24}$

ステップ 16.13.3

$\sqrt{3}$ と $\frac{24}{24}$ をまとめます。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 24}{24}$

ステップ 16.13.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 24}{24}$

ステップ 16.14

$\sqrt{3} \cdot 24$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{24}$

ステップ 16.15

$3 \sqrt{3}$ と $24 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 27 \sqrt{3}}{24}$

ステップ 16.16

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 (π + 4 π) + 27 \sqrt{3}}{24}$

ステップ 16.17

$π$ と $4 π$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot 5 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

ステップ 17

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{20 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

ステップ 18

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{20 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

10進法形式：

$4.56655103 \dots$

微分積分 例

微分積分例